DISTRIBUCIONES MUESTRALES

4.1 Función de probabilidad.

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1977) 

“Si X es una variable aleatoria continua la probabilidad de que X tome un valor determinado generalmente es cero. Por tanto no podemos definir una función de probabilidad en la misma forma que para una variable aleatoria discreta. Para llegar a una distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua notamos que la probabilidad de que X se encuentre entre dos valores diferentes tiene significado.” (Pág. 41)

Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen 2008) 

“Una distribución de probabilidad o función de probabilidad muestra los posibles resultados de un experimento y la probabilidad de que cada uno se presente.” (Pág. 181)

(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009) exponen que:

“Es útil cuantificar la posibilidad de que se presente cierto resultado de un experimento aleatorio.

P(A) = 0.20 es una afirmación que refleja cierta creencia sobre la posibilidad de que ocurra el evento A. Para ello, se asigna un número del intervalo [0, 1], o un porcentaje entre 0 y 100%. Entre más grande sea el número, será mayor la probabilidad del resultado. Por otro lado, P(B) = 0 y P(C) = 1 son el resultado imposible y el seguro. Así, la probabilidad puede interpretarse como el grado de creencia de que ocurra el resultado.” (Pág. 46)

Ejemplo del uso o aplicación de la función de probabilidad.

“Si se selecciona aleatoriamente un individuo de un grupo numeroso de hombres adultos, la probabilidad de que su estatura X sea precisamente 147 centímetros sería cero. Sin embargo hay una probabilidad mayor que cero de que X esté entre 145 y 150 centímetros.

Una función f(x) que satisface los requisitos anteriores se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua, pero con mayor frecuencia se denomina función de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad.” (Pág. 41)

 Bibliografía

Murray R. Spiegel, 1977. Probabilidad y Estadística, primera edición, México, McGraw-Hill.

Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

4.2 Distribución binomial.

De acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010)

“Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta utilizada ampliamente, es la distribución binomial. Esta distribución describe una variedad de procesos de interés para los administradores. Por otra parte, describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli, en honor del matemático suizo nacido en el siglo XVII, Jacob Bernoulli.” (Pág. 192)

Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen (2008) exponen que:

“La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una característica de una distribución binomial consiste en que solo hay dos posibles resultados en determinado intento de un experimento. Otra caracteristica es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas.” (Pág. 189)

Según (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“Proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia de n experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxito. Entonces este experimento recibe el nombre de experimento binomial. La variable aleatoria X, que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial (n, p). (Pág. 48)

Ejemplo del uso o aplicación de la distribución binomial.

De acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin, David S. (2010)

“Las posibilidades de obtener exactamente dos caras (en cualquier orden) en tres lanzamientos de una moneda no alterada. Simbólicamente, expresamos los valores de la forma siguiente:

• p _ probabilidad característica o probabilidad de tener éxito _ 0.5

• q _ 1 _ p _ probabilidad de fracaso _ 0.5

• r _ número de éxitos deseados _ 2

• n _ número de intentos hechos _ 3

Probabilidad de 2 éxitos en 3 intentos = (3! / 2! (3- 2)!) (0.5)^2 (0.5)^1

                                                             = (3*2*1 / (2*1)(1*1)) (0.5)^2(0.5)

                                                             = (6/2)(0.25)(0.5)

                                                             = 0.375

Por tanto, existe una probabilidad de 0.375 (37.5%) de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no alterada.” (Pág. 193)

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 tiradas de una moneda es:

De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)

“Suponga que un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene 5% de piezas defectuosas. Si se prueba una muestra de 5 fusibles, encuentre la probabilidad de hallar al menos uno defectuoso.

Solución: Es razonable suponer que Y, el número observado de defectuosos, tiene una distribución binomial aproximada porque el lote es grande. Retirar unos cuantos fusibles no cambia lo suficiente la composición de los restantes como para preocuparnos. Entonces,

Observe que hay una probabilidad más bien grande de ver al menos uno defectuoso, aun cuando la muestra sea muy pequeña.” (Pág. 105)

Bibliografía

Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía, Séptima edición, México, Pearson educación.

Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.

4.3 Distribución hipergeométrica.

Según (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“Da la probabilidad de obtener X éxitos en n experimentos Bernoulli, donde la probabilidad de éxito cambia de un experimento al siguiente. Sea X el número de éxitos en la muestra, entonces X tiene una distribución hipergeométrica.” (Pág.50)

(Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010) exponen que:

“Se dice que una variable aleatoria Y  tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica si y sólo si

donde y es un entero 0, 1, 2,…, n, sujeto a las restricciones y ≤ r y n – y ≤ N – r.” (Pág. 126)

De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008)

“Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y (N _ M) fallas, entonces la distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, es

con x un entero que satisface máx(0, n _ N _ M) _ x _ mín(n, M).” (Pág. 117)

Ejemplo

De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)

“Un problema importante encontrado por directores de personal y otros que se enfrentan a la selección del mejor candidato en un conjunto fi nito de elementos, queda ejemplificado en la siguiente situación. De un grupo de 20 ingenieros con título de Ph.D, 10 de ellos son seleccionados al azar para un empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados incluyan los cinco mejores ingenieros del grupo de 20?

Solución: Para este ejemplo, N = 20, n = 10 y r = 5. Esto es, hay sólo 5 en el conjunto de 5 mejores ingenieros y buscamos la probabilidad de que Y = 5, donde Y denota el número de mejores ingenieros entre los diez seleccionados. Entonces

De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008)

“Se capturaron, etiquetaron y liberaron cinco individuos de una población de animales que se piensa están al borde de la extinción en una región para que se mezclen con la población. Después de haber tenido la oportunidad de mezclarse, se selecciona una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = el número de animales etiquetados en la segunda muestra. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2? b) ¿X ≤ 2?

Los valores de los parámetros son n = 10, M = 5 (cinco animales etiquetados en la población) y N = 25, por lo tanto

Para el inciso a)

Para el inciso b)

Bibliografía

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con aplicaciones, séptima edición, México,  Cengage Learning Editores.

Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

4.4 Distribución de Poisson.

De acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010)

“La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc). La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la fórmula:” (Pág. 202)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008) exponen que:

"La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen." (Pág.203)

Según (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“Una situación frecuente en control de calidad es evaluar variables como las siguientes: número de defectos por artículo, número de impurezas en un líquido, número de errores de un trabajador. Todos los casos anteriores se resumen así: número de eventos que ocurren por unidad (por unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.)". (Pág.51)

Ejemplo del uso o aplicación de la distribución de poisson.

Según (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“En una empresa se reciben en promedio 5 quejas diarias por mal servicio.

Si el número de quejas por día se distribuye Poisson con λ = 5, ¿cuál es la probabilidad de no recibir quejas en un día? Esto se obtiene con:

Esta probabilidad de 0.007 es muy baja, por lo que en realidad sería muy raro que en un día no se recibiera ninguna queja.” (Pág. 51)

De acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010)

“El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de Tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 2 accidentes. Aplicando la fórmula.” (Pág. 203)

De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)

“Suponga que se diseña un sistema aleatorio de patrulla de policía para que un oficial de patrulla pueda estar en un lugar de su ruta Y = 0, 1, 2, 3,. . . veces por periodo de media hora, con cada lugar visitado un promedio de una vez por periodo.

Suponga que Y posee, aproximadamente, una distribución de probabilidad de Poisson. Calcule la probabilidad de que el oficial de patrulla no llegue a un lugar determinado durante un periodo de media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el lugar sea visitado una vez?

Solución: Para este ejemplo el periodo es media hora y el número medio de visitas por intervalo de media hora es l = 1. Entonces

El evento de que un lugar determinado no sea visitado en un periodo de media hora corresponde a (Y = 0), y

Del mismo modo,

La probabilidad de que el lugar sea visitado al menos una vez es el evento (Y ≥ 1). Entonces

Bibliografía

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía, Séptima edición, México, Pearson Educación.

Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con aplicaciones, séptima edición, México,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

4.5 Esperanza matemática.

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad S de dinero, la esperanza matemática (o simplemente esperanza) se define como pS. Si X denota una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X1, X2,…, Xk con probabilidades P1, P2,…, Pk, donde P1 + P2 +… + Pk = 1, La esperanza matemática de X, denotada E(X), y se define como:” (Pág.133)

Ejemplo del uso o aplicación de la esperanza matemática.

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Si la probabilidad de que un hombre gane un premio de $10 es 1/5, su esperanza matemática es 1/5($10) = 2.” (Pág. 133)

Bibliografía

Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

4.6 Distribución normal.

Según (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“La distribución normal es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Si X es una variable aleatoria normal, entonces su función de densidad de probabilidades está dada por:

donde μ es su media, y σ su desviación estándar. Al graficar la función f (x) se obtiene una gráfica simétrica y unimodal, cuya forma es similar a una campana. El centro de ésta coincide con μ, y la amplitud está determinada por σ.” (Pág. 51)

(Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010) exponen que:

 “Se dice que una variable Y tiene una distribución normal de probabilidad si y solo si, para σ > 0 y –∞< μ < ∞, la función de densidad de Y es: “(Pág. 178)

Según (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)

“Uno de los ejemplos más importantes de distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución gaussiana, que se define mediante la ecuación

donde μ = media, σ = desviación estándar, π = 3.14159 … y e = 2.71828 ..., el total del área, que está limitada por la curva y por el eje X es 1; por lo tanto, el área bajo la curva comprendida entre X = a y X = b, donde a < b representa la probabilidad de que X se encuentre entre a y b. Esta probabilidad se denota por Pr{a < X < b}.” (Pág. 173)

Ejemplo del uso o aplicación de la distribución de normal.

De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)

“Las calificaciones para un examen de admisión a una universidad están normalmente distribuidas con media de 75 y desviación estándar 10...Que fracción de las calificaciones se encuentra entre 80 y 90?

Solución: Recuerde que z es la distancia desde la media de una distribución normal expresada en unidades de desviación estándar. Entonces,

Entonces la fracción deseada de la población está dada por el área entre

Esta área esta sombreada en la figura, usted puede ver que A = A(.5) – A(1.5) = .3085 – .0668 = .2417.” (Pág. 180 y 181)

Bibliografía

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con aplicaciones, séptima edición, México,  Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.

4.7 Distribución T-student.

Según (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)

“Si se consideran muestras de tamaño N extraídas de una población normal (o aproximadamente normal) cuya media es μ y si para cada muestra se calcula t, usando la media muestral X’ y la desviación estándar muestral s o s^, se obtiene la distribución muestral de t. Esta distribución está dada por: “(Pág. 275)

De acuerdo a (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“Sea Z una variable aleatoria con distribución normal estándar y sea V una variable aleatoria con distribución ji-cuadrada con k grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la variable aleatoria, tiene una distribución T con k grados de libertad, cuya función de densidad de probabilidad está dada por, a media y la varianza de esta distribución están dadas por, E(X) = 0 y σ 2 = k/(k − 2) para k > 2. Una de las principales aplicaciones de la distribución T de Student es fundamentar las inferencias sobre la media μ de una población. Debido a que si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n de una población cuya distribución es normal, entonces el estadístico:

sigue una distribución T de Student con n – 1 grados de libertad. En la tabla A4 del apéndice se dan valores para los diferentes cuantiles o puntos críticos de esta distribución.

(William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010) exponen que:

“para muestras aleatorias de tamaño n desde una población normal y publicó sus resultados bajo el nombre de “Student”. Desde entonces, la estadística se conoce como t de Student. Tiene las siguientes características:

Tiene forma de montículo y es simétrica alrededor de t _ 0, igual que z.

• Es más variable que z, con “colas más pesadas”; esto es, la curva t no aproxima al eje horizontal con la misma rapidez que z. Esto es porque el estadístico t abarca dos cantidades aleatorias, x_ y s, en tanto que el estadístico z tiene sólo la media muestral, x_. Se puede ver este fenómeno en la fi gura 10.1.

• La forma de la distribución t depende del tamaño muestral n. A medida que n aumenta, la variabilidad de t disminuye porque la estimación s de s está basada en más y más información. En última instancia, cuando n sea infinitamente grande, las distribuciones t y z son idénticas.” (Pág. 388)

Ejemplo del uso o aplicación de la distribución t-student.

De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012)

 “Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de un cierto proceso de lotes es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre – t 0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión debería sacar de una muestra que tiene una media ￣x = 518 gramos por mililitro y una desviación estándar muestral s = 40 gramos?

Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Solución: En la tabla A.4 encontramos que t 0.05 = 1.711 para 24 grados de libertad. Por lo tanto, el ingeniero quedara satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Si μ = 500, entonces,

un valor muy superior a 1.711. La probabilidad de obtener un valor t, con v = 24, igual o mayor que 2.25, es aproximadamente 0.02. Si μ > 500, el valor de t calculado de la muestra seria más razonable. Por lo tanto, es probable que el ingeniero concluya que el proceso produce un mejor producto del que pensaba.” (Pág. 250)

Bibliografía

Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010, Introducción a la probabilidad y estadística, Décima tercera edición, México, Cengage Learning Editores.

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson educación.

4.8 Distribución Chi cuadrada.

De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012)

“La variable aleatoria continua X tiene una distribución chi cuadrada, con v grados de libertad, si su función de densidad es dada por

donde v es un entero positivo.”(Pág. 200)

Según Según Douglas C. Montgomery y George C.Runger. (2001)

“La distribución chi cuadrada es una de las distribuciones de muestreo con mayor utilidad. Está definida en términos de variables aleatorias normales.

Sean Z1, Z2, …, Zk variables aleatorias distribuidas normal e independientemente, con media μ = 0 y varianza σ² = 1. Y se dice que sigue una distribución chi cuadrada con K grados de libertad lo que se abrevia como X.” (Pág. 309)

(Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009) menciona que:

“Sea el estadístico

donde χ es la letra griega ji y χ2 se lee “ji cuadrada”. Si se consideran muestras de tamaño N obtenidas de una población normal cuya desviación estándar es σ, y si para cada muestra se calcula χ2, se obtiene una distribución muestral de χ2. Esta distribución, llamada distribución ji cuadrada, está dada por

donde ν = N − 1 es el número de grados de libertad y Y0 es una constante que depende de ν, de manera que el área bajo la curva sea 1.” (Pág. 277-278)

Ejemplo del uso o aplicación de la distribución chi cuadrada.

De acuerdo a (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)

“La desviación estándar en los pesos de paquetes de 40.0 onzas (oz), llenados con una máquina, ha sido 0.25 oz. En una muestra de 20 paquetes se observa una desviación estándar de 0.32 oz. ¿Este aparente incremento en la variabilidad es significativo a los niveles: a) 0.05 y b) 0.01?

SOLUCIÓN

Decidir entre las hipótesis:

H0 : σ = 0.25 oz, el resultado observado es casualidad.

H1 : σ > 0.25 oz, la variabilidad ha aumentado.

El valor de χ2 para la muestra es

a) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.05, se rechaza H₀ si los valores muéstrales de χ2 son mayores a X².₉₅, lo que es igual a 30.1 para ν = 20 − 1 = 19 grados de libertad. Por lo tanto, se rechaza H₀ al nivel de significancia 0.05.

b) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.01, se puede rechazar H₀ si los valores muéstrales de χ2 son mayores a X².₉₉, lo que es igual a 36.2 para 19 grados de libertad. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.01, no se rechaza H₀.

Se concluye que la variabilidad probablemente ha aumentado. Se recomienda examinar la máquina.” (Pág. 289)

Bibliografía

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson educación.

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.

4.9 Distribución F.

Para (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008)

“La distribución F, la cual debe su nombre a sir Ronald Fisher, uno de los pioneros de la estadística actual. Esta distribución de probabilidad sirve como la distribución del estadístico de prueba para varias situaciones. Con ella se pone a prueba si dos muestras provienen de poblaciones que tienen varianzas iguales, y también se aplica cuando se desean comparar varias medias poblacionales en forma simultánea. ” (Pág. 407)

De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012)

“Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones chi cuadrada con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribución de la variable aleatoria  es dada por la función de densidad

Esta se conoce como la distribución F con v1 y v2 grados de libertad” (Pág. 251)

Según (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)

“La distribución muestral de F se le llama distribución F de Fisher, o simplemente distribución F, con ν1 = N1− 1 y ν2 = N2 − 1 grados de libertad. Esta distribución está dada por

donde C es una constante que depende de ν1 y ν2, de manera que el área total bajo la curva sea 1, aunque esta forma puede variar de manera notable de acuerdo con los valores de ν1 y ν2.” (Pág. 279)

Bibliografía

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson educación.

Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.