FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

2.1 Teoría elemental de la probabilidad

Levin Richard I. (2010), menciona que:

“La probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.” (pág. 129)

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero.” (pág. 5) 

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“El termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)                  

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Si la probabilidad es de ¼, diríamos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es de 75% al 25% o de 3 a 1.” (pág. 5)

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“Hay una probabilidad 50-50 de que el titular busque la reelección.” (pág. 5) 

2.2 Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento,

simbología, unión, intersección, diagramas de Venn. 

Espacio muestral

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“A un conjunto S que consta de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, y a cada resultado se le llama  punto muestral.” (pág. 3)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama espacio muestral. Un resultado en particular, es decir un elemento de S, se llama punto de mustreo o muestral.”(Pág. 276)

Jay L. Devore (2008) menciona que:

“El espacio muestral de un experimento denotado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.” (pág. 47)

                 Ejemplo

1.- Si se lanza un dado, un espacio muestral, o conjunto de todos los resultados posibles será {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mientras que otro será {par, non}. Sin embargo, es claro que el último no será adecuado para determinar, por ejemplo. Si un resultado es divido entre 3. (pág.3)

2.- Lance una moneda 3 veces y observe la sucesión de caras (C) y sellos (S) que resulta. El espacio muestral S consta de ocho elementos:

S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} (pág. 277)

3.- Si se examinan tres fusibles en secuencia y se anota el resultado de cada examen, entonces un resultado del experimento es cualquier secuencia de letras N y D de longitud 3, por lo tanto

S = {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}

Si se hubiera lanzado una tachuela tres veces, el espacio muestral se obtendría reemplazando N

por U en la expresión S anterior y con un cambio de notación similar se obtendría el espacio

muestral. (pág. 47)

Bibliografía

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1992. Matemáticas para computación. Primera edición. México. Mc Graw Hill.

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. México. Cengage learning Editores.

EVENTO

Jay L. Devore (2008) menciona que:

      “Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el                  espaciomuestral S. Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado 

       y  compuesto si consiste en más de un resultado.” (pag. 48)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

       "Un evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del               espacio muestral S. En particular, el conjunto {a} que consta de una sola muestra € 

        S  es un evento y se llama evento elemental.” (pag. 276)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

     

     “Un evento o suceso es un subconjunto A del espacio muestral S. es decir es un                   conjunto de resultados posibles. Si el resultado de un experimento es un elemento 

      de A, se dice que ha ocurrido el evento A. un evento que consta de un solo punto de S         llamarse evento simple o elemental.

Ejemplo

1.- El espacio muestral del experimento del examen de las baterías contiene un número infinito de resultados, por lo que existe un número infinito de eventos simples. Los eventos compuestos incluyen

A _ {E, FE, FFE} _ el evento en que cuando mucho se examinan tres baterías.

E _ {FE, FFFE, FFFFFE,. . .} _ el evento en que se examina un número par de baterías. (pag. 49)

2.- Lance una moneda 3 veces y observe la sucesión de caras (C) y sellos (S) que resulta. El espacio muestral S consta de ocho elementos.

Sea A el evento de que salgan dos o más caras consecutivamente, B de que todos los lanzamientos tengan el mismo resultado:

A= {CCC, CCS, SCC}  y  B= {CCC, SSS}

Entonces A∩B = {CCC} es el evento elemental en el que solamente salen caras. El evento de que salgan 5 caras es el conjunto vacío o.

3.- volviendo al experimento de lanzar una moneda 2 veces, sea A el evento “que caiga por lo menos una cara” y B el evento “el segundo lanzamiento que caiga cruz”. Entonces, A = {HT, TH, HH}, B = {HT, TT} y, por tanto, se tiene:

A U B = {HT, TH, HH, TT} =S     A∩B = {HT}

A’ = {TT}    A-B = {TH, HH}  (pág. 4)

Bibliografía

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1992. Matemáticas para computación. Primera edición. México. Mc Graw Hill.

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. México. Cengage learning Editores.

Unión

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos

los elementos del conjunto A y del conjunto B:

A u B = {x | x e A o x e B}.” (pág. 80)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la unión de dos eventos A y B denotada por A U B y que se lee “A unión B”, es el evento que consiste en los resultados que están ya sea en A o en B o en ambos eventos (así que la unión incluye resultados para los que ocurren tanto A como B, así como resultados para los que ocurre exactamente uno). Es decir, los resultados en por lo menos uno de los eventos.” (pág. 55)

Ejemplo

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}; entonces

                   AUB = {a, b, c, d, e}.” (pág. 16)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de unión de conjuntos se tiene que:

AuB= {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}.” (pág. 81)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

“para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

AUB= {0, 1,2, 3, 4, 5, 6}=S. A U C= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Bibliografía

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

Intersección

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la intersección de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A∩B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene

a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:

A n B = {x | x e A; x e B}.” (pág. 82)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la intersección de dos eventos A y B, que se denota como A∩B y se lee “A intersección B”, es el evento que consiste en los resultados que están tanto en A como en B.” (pág. 55)

Ejemplo

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea P el evento de que una persona seleccionada al azar mientras cena en un restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento de que la persona tengas más de 65 años de edad. Entonces el evento P∩Q es el conjunto de todos los contribuyentes en el restaurante que tiene más de 65 años  de edad.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de intersección de conjuntos se tiene que:

A n B = {2, 6, 8}.” (pág. 82)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

“para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

A∩B = {3, 4}, A∩C= {1, 3}, A´= {5, 6}, {

(AUC)= {6}.” (pág. 55)

 Bibliografía

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

Diagrama de venn

Según (José Alfredo, 2008)

“Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma en que se entrelazan las figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos conjuntos.” (pág. 79)

De acuerdo a ((Murray R. Spiegel, 1991)

“un universo u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo.  Para En tal caso los subconjuntos de u se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de ven, sirven para darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.” (pág. 2)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“en un diagrama de venn representamos el espacio muestral como un rectángulo.” (pág. 16)

2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

AXIOMAS

Según (Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010)

“Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas. Los axiomas no determinan las probabilidades. Sin embargo, los axiomas facilitan el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otro.”(pág. 66)

Seymour Lipschutz (1991) señala que:

“Sea S un espacio muestral, sea Є la clave de eventos y se P una función de valores reales definida en Є. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:

[P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

[P2] P(S) = 1.

[P3] Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A U B) = P(A) + P(B)

[P4] Si A1, A2, … es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + … “ (Pág. 40)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“Suponga que tiene un espacio muestral S. Si S es discreto, todos los subconjuntos corresponden a eventos y recíprocamente, pero si S no es discreto, solo los subconjuntos especiales (llamados mediles) corresponden a eventos. A cada evento A de una clase C de eventos se le asocia un número real P(A). Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es la probabilidad del evento A. si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1: Para cada evento A de la clase C.

P(A) ≥ 0

Axioma 2: Para el evento cierto o seguro S de la clase C.

P(S) = 1

Axioma 3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…., de la clase C,

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + …

 En particular, dados dos eventos mutuamente excluyentes A1, A2,

P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)” (Pág. 5)

BIBLIOGRAFIA

Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, primera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1991. Probabilidad. Primera edición. Mexico. Mc Graw Hill.

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

TEOREMAS

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“De acuerdo con los axiomas anteriores, pueden demostrarse varios teoremas acerca de la probabilidad que son importantes en el trabajo subsiguiente.

Teorema 1-1: Si A1 C A2, entonces P(A1) ≤ P(A2) y (A2 – A1) = P(A2) – P(A1).

Teorema 1-2: Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1, es decir una probabilidad está entre 0 y 1.

Teorema 1-3: P(ф) = 0 es decir el evento imposible tiene probabilidad cero.

Teorema 1-4: Si A’ es el complemento de A, entonces P(A´) = 1 – P(A)

Teorema 1-5: Si A = A1 U A2 U … U An donde A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An), en particular, si A = S, es el espacio muestral, entonces P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.” (pág. 5 y 6)

2.4. Probabilidad condicional: dependiente, independiente.

Según (Mario F.Triolo, 2009)

“La probabilidad condicional de un suceso es una probabilidad obtenida con

La información adicional de algún otro evento que ya ocurrió. P (B|A) denota la

Probabilidad condicional de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A ya

Ocurrió, y puede calcularse dividiendo la probabilidad de que ambos sucesos

A y B ocurran entre la probabilidad del suceso A:

PsB k Ad 5

PsA y Bd

  PsAd.” (pág. 169)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“P(B|A) = P(A∩B)/P(A)   o bien P(A∩B) = P(A) P(B|A) indica que la probabilidad de que ocurran tanto en A como B es igual a la posibilidad de que ocurra A, por la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. A P(B|A) se la llama probabilidad condicional de B dado A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A.” (pág. 7)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“sea E un evento arbitrario en un espacio muestral S para el cual P(E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que haya ocurrido E o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A|E), se define como sigue:

P(A|E) = P(A ∩ E) / P(E)” (pág. 279)

EJEMPLOS

1.- encuentre la probabilidad de que en un solo lanzamiento de un dado se obtenga un número menor que 4 sí; a) no se da ninguna información y b) se sabe que en ese lanzamiento se obtuvo un número impar.

a) sea B el suceso {menor que 4}. Puesto que B es la unión de los eventos 1, 2, 3, se tiene, de acuerdo con el teorema 1-5.

P(B) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 =1/2

Suponiendo probabilidades iguales para los puntos de la muestra.

b) Sea A el evento {número impar}, se ve que p(A) =3/6 = ½. Además, P(A ∩ B) =2/6 = 1/3. Entonces P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Por tanto el conocimiento adicional de que el lanzamiento ha dado como resultado un número impar eleva la probabilidad de ½ a 2/3. (Pág. 7)

2.5 ley multiplicativa

Según (Jay L. Devore, 2005)

 “La definición de la probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)

p (A∩B) = P (A|B)*P (B)

De acuerdo a (walpole, Ronald E., 1999)

“Permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces

  P(A ∩ B) = P(A) P (B|A), siempre que P(A) > 0.” (pág. 54)

Mario F. Triolo, 2009. Declara que:

“Se utiliza Para calcular P(A y B), la probabilidad de que el suceso A ocurra en un primer ensayo Y que el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Si el resultado del primer suceso A afecta de alguna forma la probabilidad del segundo suceso B, es importante Ajustar la probabilidad de B para que refleje la ocurrencia del suceso A. La regla Para el cálculo de P(A y B) se denomina regla de la multiplicación porque implica Multiplicar la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B (donde la Probabilidad del suceso B se ajusta por el resultado del suceso A).

P(A y B) _ P (el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un

  Segundo ensayo).” (pág. 159)

2.6 eventos independientes: Regla de Bayes

Según (Jay L. Devore, 2005)

“el cálculo de una probabilidad posterior P  (Aj|B) a partir de probabilidades previas dadas  P (Aj) y probabilidades condicionales  ocupa una posición central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una aplicación simple de la regla de la  multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el siglo XVII.” (Pág.72)

De acuerdo (Seymour Lipschutz, 1968)

“supongamos que los eventos A1, A2,…, An forman una partición de un espacio muestral ; esto es, que los eventos  son mutuamente exclusivos y su unión es . Ahora sea.  Otro evento.”(Pág.56)

Levin Richard I., 2010, señala que:

“El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidades.” (pág. 158)

Ejemplo:

Tres máquinas A, B y C producen respetivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

2.7 variable aleatoria

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento  del espacio muestral.” (pág. 51)

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)
“una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral  y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un número. Así definimos una función en el espacio muestral. Comúnmente se denota por una letra mayúscula como X ó Y. En general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico u otro.” (pág. 38)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas."

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)

“cuando un estudiante intenta conectarse a un sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos está ocupado (F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema con S= {S, F}, defina una variable aleatoria x mediante

X(S)=1    X (F)=0

La variable aleatoria X indica si (1) el estudiante se puede conectar o no ({}).” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es S= {CC, CS, SC, SS}. Representase por X el número de caras que puede resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un número para X. (pág. 38)

2.9 modelos analíticos de fenómenos aleatorios discreto

Según (Walpole, Myers, Myers, 2012)

“se puede contar su conjunto de resultados posibles. Sin embargo, una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles es un intervalo completo de números no es discreta. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continúa.” (pág. 83)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991)

“Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, por que el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.” (pág. 87)

2.10 modelos analíticos de fenómenos aleatorios continuos.

Anderson Sweeney Williams (2008), expone que:

“A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos, Los resultados experimentales basados en escalas de medición tales como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas. La variable aleatoria que interesa es x = tiempo en minutos entre dos llamadas consecutivas. Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor en el intervalo x  ≥ 0.” (Pág. 189)

Jay ley Devore (2009) menciona que:

“La probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria continua X esté en un conjunto unidimensional A (tal como un intervalo) se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad f(x) a lo largo del conjunto A. Asimismo, la probabilidad de que el par

(X, Y) de variables aleatorias continuas quede en un conjunto A en dos dimensiones (tal como

un rectángulo) se obtiene integrando una función llamada función de densidad conjunta. (Pág. 186)

Seymour Lipschutz, (1991) señala que:

“supóngase que X es una variable aleatoria cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto continuo de números tales como intervalo. El conjunto |a ≤ X ≤ b | es un suceso de S y, por consiguiente, la probabilidad P(a ≤ X ≤ b) está bien definida.” (Pág. 84)

FUENTE BIBLIOGRÁFICA

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(Murray R. Spiegel, 1991) probabilidad y estadística. Primera edición, México: MC GRAW-HILL/INTEROAMERICANA.

(Levin, Richard I, 2010) estadística para administración y economía. Séptima edición, México: person educación.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

(Mario F.Triolo, 2009) Estadística. Décima edición, México: Pearson Addison Wesley.

(Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, México: Editorial MC GRAW HILL.

(Walpole, Myers, Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Novena edición, México: person educación.