4.1 Función de probabilidad.
De acuerdo a (Murray R. Spiegel,
1977)
“Si X es una variable
aleatoria continua la probabilidad de que X tome un valor determinado generalmente
es cero. Por tanto no podemos definir una función de probabilidad en la misma forma
que para una variable aleatoria discreta. Para llegar a una distribución de
probabilidad para una variable aleatoria continua notamos que la probabilidad
de que X se encuentre entre dos valores diferentes tiene significado.” (Pág.
41)
Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen 2008)
“Una distribución de probabilidad o función de probabilidad muestra los posibles resultados de un experimento y la probabilidad de que cada uno se presente.” (Pág. 181)
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara
Salazar, 2009) exponen que:
“Es útil cuantificar la
posibilidad de que se presente cierto resultado de un experimento aleatorio.
P(A)
= 0.20 es una afirmación que refleja cierta creencia sobre la posibilidad de
que ocurra el evento A. Para ello, se asigna un número del
intervalo [0, 1], o un porcentaje entre 0 y 100%. Entre más grande sea el
número, será mayor la probabilidad del resultado. Por otro lado, P(B)
= 0 y P(C) = 1 son el resultado
imposible y el seguro. Así, la probabilidad puede interpretarse como el grado
de creencia de que ocurra el resultado.” (Pág. 46)
Ejemplo
“Si se selecciona
aleatoriamente un individuo de un grupo numeroso de hombres adultos, la probabilidad
de que su estatura X sea precisamente 147 centímetros sería cero. Sin embargo hay
una probabilidad mayor que cero de que X esté entre 145 y 150 centímetros.
Una función f(x) que satisface
los requisitos anteriores se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad
para una variable aleatoria continua, pero con mayor frecuencia se denomina función
de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad.” (Pág. 41)
Bibliografía
Murray R. Spiegel, 1977. Probabilidad y Estadística, primera edición,
México, McGraw-Hill.
Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
4.2 Distribución binomial.
De
acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin,
David S., 2010)
“Una distribución de
probabilidad de variable aleatoria discreta utilizada ampliamente, es la distribución
binomial. Esta distribución describe una variedad de procesos de interés
para los administradores. Por otra parte, describe datos discretos, no
continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de
Bernoulli, en honor del matemático suizo nacido en el siglo XVII, Jacob Bernoulli.” (Pág. 192)
Douglas A. Lind,
William G. Marchal y Samuel A. Wathen (2008) exponen que:
“La distribución de probabilidad binomial es una distribución de
probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una característica de una distribución binomial consiste en que solo hay dos posibles resultados
en determinado intento de un experimento. Otra caracteristica es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de
conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas.”
(Pág. 189)
Según
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“Proporciona
la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia de n experimentos
Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxito. Entonces este
experimento recibe el nombre de experimento
binomial.
La variable aleatoria X, que es igual al número de ensayos donde
el resultado es un éxito, tiene una distribución
binomial (n,
p). (Pág. 48)
Ejemplo
De
acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin,
David S. (2010)
“Las posibilidades
de obtener exactamente dos caras (en cualquier orden) en tres lanzamientos de
una moneda no alterada. Simbólicamente, expresamos los valores de la forma
siguiente:
• p _
probabilidad característica o probabilidad de tener éxito _ 0.5
• q _ 1
_ p _ probabilidad de fracaso _ 0.5
• r _
número de éxitos deseados _ 2
• n
_ número de intentos hechos _ 3
Probabilidad de 2 éxitos en 3 intentos =
(3! / 2! (3- 2)!) (0.5)^2 (0.5)^1
= (3*2*1 / (2*1)(1*1)) (0.5)^2(0.5)
= (6/2)(0.25)(0.5)
= 0.375
Por tanto, existe una probabilidad de
0.375 (37.5%) de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no
alterada.” (Pág. 193)
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“La probabilidad de obtener exactamente
2 caras en 6 tiradas de una moneda es:
De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L.
Scheaffer, 2010)
“Suponga que un lote de 5000 fusibles
eléctricos contiene 5% de piezas defectuosas. Si se prueba una muestra de 5
fusibles, encuentre la probabilidad de hallar al menos uno defectuoso.
Solución: Es razonable suponer que Y,
el número observado de defectuosos, tiene una distribución binomial aproximada
porque el lote es grande. Retirar unos cuantos fusibles no cambia lo suficiente
la composición de los restantes como para preocuparnos. Entonces,
Observe que hay una probabilidad más
bien grande de ver al menos uno defectuoso, aun cuando la muestra sea muy
pequeña.” (Pág. 105)
Bibliografía
Levin,
richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía,
Séptima edición, México, Pearson educación.
Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile,
McGraw-Hill.
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.
4.3 Distribución hipergeométrica.
Según
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“Da la probabilidad de obtener X éxitos
en n experimentos Bernoulli, donde la probabilidad de éxito cambia de un
experimento al siguiente. Sea X el número de éxitos en
la muestra, entonces X tiene una distribución hipergeométrica.” (Pág.50)
(Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)
exponen que:
“Se
dice que una variable aleatoria Y tiene
una distribución de probabilidad hipergeométrica si
y sólo si
donde
y es
un entero 0, 1, 2,…, n,
sujeto a las restricciones y
≤ r y n – y
≤ N – r.”
(Pág. 126)
De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008)
“Si
X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente
aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y
(N _ M) fallas, entonces la distribución de
probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, es
con
x un entero que satisface máx(0, n _ N _ M) _ x _
mín(n, M).” (Pág. 117)
Ejemplo
De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L.
Scheaffer, 2010)
“Un
problema importante encontrado por directores de personal y otros que se
enfrentan a la selección del mejor candidato en un conjunto fi nito de
elementos, queda ejemplificado en la siguiente situación. De un grupo de 20
ingenieros con título de Ph.D, 10 de ellos son seleccionados al azar para un
empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados incluyan los cinco
mejores ingenieros del grupo de 20?
Solución: Para
este ejemplo, N = 20, n = 10 y r =
5. Esto es, hay sólo 5 en el conjunto de 5 mejores ingenieros y
buscamos la probabilidad de que Y = 5,
donde Y denota el número de mejores ingenieros
entre los diez seleccionados. Entonces
De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008)
“Se capturaron,
etiquetaron y liberaron cinco individuos de una población de animales que se
piensa están al borde de la extinción en una región para que se mezclen con la
población. Después de haber tenido la oportunidad de mezclarse, se selecciona
una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = el número de
animales etiquetados en la segunda muestra. Si en realidad hay 25 animales de
este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2? b) ¿X
≤ 2?
Los valores de los
parámetros son n = 10, M = 5 (cinco animales etiquetados en la población)
y N = 25, por lo tanto
Para
el inciso a)
Para
el inciso b)
Bibliografía
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Dennis D. Wackerly, William
Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con
aplicaciones, séptima edición, México, Cengage Learning
Editores.
Jay
L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima
edición, México, Cengage
Learning Editores.
4.4 Distribución de Poisson.
De acuerdo a (Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010)
“La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc). La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la fórmula:” (Pág. 202)
(Douglas A. Lind,
William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008) exponen que:
"La distribución
de probabilidad de Poisson describe el número
de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El
intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen." (Pág.203)
Según
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“Una situación frecuente en control de calidad
es evaluar variables como las siguientes: número de defectos por artículo, número
de impurezas en un líquido, número de errores de un trabajador. Todos
los casos anteriores se resumen así: número de eventos que ocurren por unidad
(por unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.)". (Pág.51)
Ejemplo
Según
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“En
una empresa se reciben en promedio 5 quejas diarias por mal servicio.
Si
el número de quejas por día se distribuye Poisson con λ = 5, ¿cuál es la
probabilidad de no recibir quejas en un día? Esto se obtiene con:
Esta
probabilidad de 0.007 es muy baja, por lo que en realidad sería muy raro que en
un día no se recibiera ninguna queja.” (Pág. 51)
De acuerdo a (Levin,
richard I. y Rubin, David S., 2010)
“El número de
accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el
Departamento de Seguridad de Tránsito desea que calculemos la probabilidad de
que en cualquier mes ocurran exactamente 2 accidentes. Aplicando la fórmula.”
(Pág. 203)
De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L.
Scheaffer, 2010)
“Suponga que se diseña un sistema
aleatorio de patrulla de policía para que un oficial de patrulla pueda estar en
un lugar de su ruta Y
= 0, 1, 2, 3,. . . veces por periodo de
media hora, con cada lugar visitado un promedio de una vez por periodo.
Suponga que Y posee, aproximadamente, una distribución de probabilidad de Poisson.
Calcule la probabilidad de que el oficial de patrulla no llegue a un lugar
determinado durante un periodo de media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que
el lugar sea visitado una vez?
Solución: Para este ejemplo el periodo es media
hora y el número medio de visitas por intervalo de media hora es l
= 1. Entonces
El evento de que un lugar determinado
no sea visitado en un periodo de media hora corresponde a (Y = 0),
y
Del mismo modo,
La probabilidad de que el lugar sea
visitado al
menos una
vez es el evento (Y
≥ 1). Entonces
Bibliografía
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Levin,
richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía,
Séptima edición, México, Pearson Educación.
Dennis D. Wackerly, William
Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con
aplicaciones, séptima edición, México, Cengage Learning
Editores, S.A. de C.V.
4.5 Esperanza matemática.
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“Si p es la probabilidad de que una persona
reciba una cantidad S de dinero, la esperanza matemática (o simplemente esperanza) se define como pS. Si X denota una variable aleatoria
discreta que puede tomar los valores X1, X2,…, Xk con probabilidades P1, P2,…,
Pk, donde P1 + P2 +… + Pk = 1, La esperanza matemática de X, denotada E(X), y
se define como:” (Pág.133)
Ejemplo
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“Si la probabilidad de que un
hombre gane un premio de $10 es 1/5, su esperanza matemática es 1/5($10) = 2.”
(Pág. 133)
Bibliografía
Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile,
McGraw-Hill.
4.6
Distribución normal.
Según
(Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“La distribución normal
es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Si X es
una variable aleatoria normal, entonces su función de densidad de
probabilidades está dada por:
donde
μ es su media, y σ su desviación estándar. Al graficar la función f (x) se obtiene
una gráfica simétrica y unimodal, cuya forma es similar a una campana. El
centro de ésta coincide con μ, y la amplitud está determinada por σ.” (Pág. 51)
(Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010)
exponen que:
“Se dice que una variable Y tiene una distribución normal de probabilidad si y solo si, para σ > 0
y –∞< μ < ∞,
la función de densidad de Y
es: “(Pág. 178)
Según (Murray R.
Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)
“Uno de los
ejemplos más importantes de distribución de probabilidad continua es la distribución
normal, curva normal o distribución gaussiana, que se define
mediante la ecuación
donde
μ = media, σ = desviación estándar, π = 3.14159 … y e = 2.71828 ..., el total del área,
que está limitada por la curva y por el eje X es 1; por lo tanto, el
área bajo la curva comprendida entre X = a y X = b,
donde a < b representa la probabilidad de que X se
encuentre entre a y b. Esta probabilidad se denota por Pr{a <
X < b}.”
(Pág. 173)
Ejemplo
De acuerdo a (Dennis D. Wackerly, William Mendenhall y Richard L.
Scheaffer, 2010)
“Las calificaciones para un examen de
admisión a una universidad están normalmente distribuidas con media de 75 y
desviación estándar 10...Que fracción de las calificaciones se encuentra entre
80 y 90?
Solución:
Recuerde que z es la distancia desde la media de una distribución normal
expresada en unidades de desviación estándar. Entonces,
Entonces la fracción deseada de la
población está dada por el área entre
Esta área esta sombreada en la figura,
usted puede ver que A
= A(.5) – A(1.5) = .3085
– .0668 = .2417.” (Pág. 180 y 181)
Bibliografía
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Dennis D. Wackerly, William
Mendenhall y Richard L. Scheaffer, 2010, Estadística matemática con
aplicaciones, séptima edición, México, Cengage Learning
Editores, S.A. de C.V.
Jay
L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima
edición, México, Cengage
Learning Editores.
Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición,
México, McGraw-Hill.
4.7 Distribución
T-student.
Según (Murray R.
Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)
“Si se consideran
muestras de tamaño N extraídas de una población normal (o aproximadamente
normal) cuya media es μ y si para cada muestra se calcula t,
usando la media muestral X’ y la desviación
estándar muestral s o s^, se obtiene la distribución muestral de t.
Esta distribución está dada por: “(Pág. 275)
De
acuerdo a (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)
“Sea Z una
variable aleatoria con distribución normal estándar y sea V una
variable aleatoria con distribución ji-cuadrada con k grados
de libertad. Si Z y V son independientes,
entonces la variable aleatoria, tiene una distribución T con
k grados de libertad, cuya función de
densidad de probabilidad está dada por, a media y la varianza
de esta distribución están dadas por, E(X)
= 0 y σ 2 = k/(k − 2) para k >
2. Una de las principales aplicaciones de la distribución T de
Student es fundamentar las inferencias sobre la media μ de
una población. Debido a que si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n de
una población cuya distribución es normal, entonces el estadístico:
sigue una distribución T de
Student con n – 1 grados de libertad. En la tabla A4
del apéndice se dan valores para los diferentes cuantiles o puntos críticos de
esta distribución.
(William
Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010) exponen que:
“para
muestras aleatorias de tamaño n desde una población normal y publicó sus
resultados bajo el nombre de “Student”. Desde entonces, la estadística se
conoce como t de
Student. Tiene las
siguientes características:
Tiene
forma de montículo y es simétrica alrededor de t _ 0, igual que z.
•
Es más variable que z, con “colas más pesadas”; esto es, la curva t no
aproxima al eje horizontal con la misma rapidez que z. Esto es porque el
estadístico t abarca dos cantidades aleatorias, x_ y s, en
tanto que el estadístico z tiene sólo la media muestral, x_. Se
puede ver este fenómeno en la fi gura 10.1.
•
La forma de la distribución t depende del tamaño muestral n. A
medida que n aumenta, la variabilidad de t disminuye porque la
estimación s de s está basada en más y más información. En última
instancia, cuando n sea infinitamente grande, las distribuciones t y
z son idénticas.” (Pág. 388)
Ejemplo
De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon
l. Myers y Keying Ye, 2012)
“Un ingeniero químico
afirma que el rendimiento medio de la población de un cierto proceso de lotes
es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea
25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre – t 0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión
debería sacar de una muestra que tiene una media ￣x = 518 gramos por mililitro y una
desviación estándar muestral s = 40 gramos?
Suponga que la distribución de rendimientos es
aproximadamente normal.
Solución: En la tabla A.4 encontramos que t 0.05 = 1.711 para 24 grados de
libertad. Por lo tanto, el ingeniero quedara satisfecho con esta afirmación si
una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Si μ
= 500, entonces,
un valor muy superior a 1.711. La
probabilidad de obtener un valor t,
con v = 24, igual o mayor que 2.25, es
aproximadamente 0.02. Si μ
> 500, el valor
de t calculado de la muestra seria más
razonable. Por lo tanto, es probable que el ingeniero concluya que el proceso
produce un mejor producto del que pensaba.” (Pág. 250)
Bibliografía
Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición,
México, McGraw-Hill.
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M.
Beaver, 2010, Introducción
a la probabilidad y estadística, Décima tercera edición, México, Cengage
Learning Editores.
Ronald
E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson
educación.
4.8
Distribución Chi cuadrada.
De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon
l. Myers y Keying Ye, 2012)
“La variable aleatoria continua X tiene una distribución
chi cuadrada, con v
grados de libertad,
si su función de densidad es dada por
donde v es un entero positivo.”(Pág. 200)
Según Según Douglas C. Montgomery y
George C.Runger. (2001)
“La distribución chi cuadrada es una
de las distribuciones de muestreo con mayor utilidad. Está definida en términos
de variables aleatorias normales.
Sean Z1, Z2, …, Zk variables
aleatorias distribuidas normal e independientemente, con media μ = 0 y varianza σ2 = 1. Y se dice que sigue una distribución
chi cuadrada con K grados de libertad lo que se abrevia como X.” (Pág. 309)
(Murray R. Spiegel
y Larry J. Stephens, 2009) menciona que:
“Sea el estadístico
donde χ es la
letra griega ji y χ2 se lee “ji cuadrada”. Si se consideran
muestras de tamaño N obtenidas de una población normal cuya desviación
estándar es σ, y si para cada muestra se calcula χ2, se obtiene
una distribución muestral de χ2. Esta distribución, llamada distribución
ji cuadrada, está dada por
donde ν = N − 1
es el número de grados de libertad y Y0 es una constante que
depende de ν, de manera que el área bajo la curva sea 1.” (Pág. 277-278)
Ejemplo
De acuerdo a
(Murray
R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)
“La
desviación estándar en los pesos de paquetes de 40.0 onzas (oz), llenados con
una máquina, ha sido 0.25 oz. En una muestra de 20 paquetes se observa una
desviación estándar de 0.32 oz. ¿Este aparente incremento en la variabilidad es
significativo a los niveles: a) 0.05 y b) 0.01?
SOLUCIÓN
Decidir entre las
hipótesis:
H0 : σ = 0.25 oz,
el resultado observado es casualidad.
H1 : σ > 0.25
oz, la variabilidad ha aumentado.
El valor de χ2
para la muestra es
a) Empleando una prueba
de una cola, al nivel de significancia 0.05, se rechaza H0 si
los valores muéstrales de χ2 son mayores a X2.95,
lo que es igual a 30.1 para ν = 20 − 1 = 19 grados de
libertad. Por lo tanto, se rechaza H0 al nivel de significancia
0.05.
b) Empleando una prueba
de una cola, al nivel de significancia 0.01, se puede rechazar H0
si los valores muéstrales de χ2 son mayores a X2.99,
lo que es igual a 36.2 para 19 grados de libertad. Por lo tanto, al nivel de
significancia 0.01, no se rechaza H0.
Se concluye que la
variabilidad probablemente ha aumentado. Se recomienda examinar la máquina.”
(Pág. 289)
Bibliografía
Ronald
E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson
educación.
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición,
México, McGraw-Hill.
4.9 Distribución F.
Para (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008)
“La distribución F, la cual
debe su nombre a sir Ronald Fisher, uno de los pioneros de la estadística
actual. Esta distribución de probabilidad sirve como la distribución del
estadístico de prueba para varias situaciones. Con ella se pone a prueba si dos
muestras provienen de poblaciones que tienen varianzas iguales, y también se
aplica cuando se desean comparar varias medias poblacionales en forma simultánea.
” (Pág. 407)
De acuerdo a (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012)
“Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones chi cuadrada con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribución de la variable aleatoria
Esta se conoce como la distribución F con v1 y v2 grados de libertad” (Pág. 251)
Según (Murray R.
Spiegel y Larry J. Stephens, 2009)
“La distribución
muestral de F se le llama distribución F de Fisher, o simplemente
distribución F, con ν1 = N1− 1
y ν2 = N2 − 1 grados de libertad.
Esta distribución está dada por
donde C es una
constante que depende de ν1 y ν2, de manera que el área total
bajo la curva sea 1, aunque esta forma puede variar de manera notable de
acuerdo con los valores de ν1 y ν2.” (Pág. 279)
Bibliografía
Ronald
E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson
educación.
Douglas A. Lind, William G.
Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la
economía, Decimotercera edición, México, McGraw-Hill.
Humberto Gutiérrez Pulido y
Román de la Vara Salazar, 2009, Control
estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.
Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición,
México, McGraw-Hill.
