ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3.1 Conceptos básicos de estadística.

Población

Según (Douglas C. Montgomery y George C.Runger, 2002)

“Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto interés. En cualquier problema particular la población puede ser pequeña, grande pero finita o infinita.” (Pág. 85)

Según (Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye 2012)

“Una población consta de la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados.” (Pág.226)

De acuerdo a Allen L. Webster (2000)

“Población es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el investigador.”(Pág. 8)

Ejemplos del uso o aplicación de la población

Según (Douglas C. Montgomery y George C.Runger, 2008)

“El ingreso de los habitantes de una ciudad de Estados Unidos, y el número de botellas con un contenido menor de bebida en un dia de producción de una compañía refresquera, son poblaciones de tamaño finito.” (Pág. 85)

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

“Si los ingresos de los 121 millones de asalariados de los Estados Unidos son de interés para un economista que asesore al congreso en la formulación del plan nacional tributario, entonces los 121 millones de ingresos constituyen una población.” (Pág. 8)

Según (Murray R. Spiegel 1997)

“Desearíamos extraer conclusiones respecto a los colores de 200 bolas (la población) en una urna seleccionando una muestra de 20 bolas de la urna, donde cada bola seleccionada se regresa luego de observar su color.” (Pág. 155)

Bibliografía

• Allen L. Webster, 2000. Estadística aplicada a los negocios y la economía. Tercera ediciòn. Mc Graw Hill. Colombia
• Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye ,2012. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Novena edición. Pearson. México
• Murray R. Spiegel 1997. Probabilidad y estadística. Primera edición. Mc Graw Hill. México.

Muestra aleatoria

Según (Douglas C. Montgomery y George C.Runger, 2002)

“Sea X la variable aleatoria que representa el resultado de tomar una observación de la población. Sea f(x) la funcion de densidad de probabilidad de X. supongase que cada observacion en la,uestra independiente, bajo las mismas condiciones. Esto es, las observaciones de la muestra se obtienen al observar X de manera independiente bajo condiciones que no cambian, digamos, n veces. Sea Xi la variable aleatoris que representa la i-ésima réplica. Entonces X1, X2, . . . , Xn contituyen una muestra aleatoria, donde los valores numéricos obtenidos son X1, X2, . . . , Xn.”(Pág. 285-286)

Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III y Richard L. Scheaffer. (2010) menciona que:

“Represente con N y n los números de elementos en la población y la muestra, respectivamente.

Si el muestreo se realiza en forma tal que cada una de las( N, n) muestras tiene igual probabilidad de ser seleccionada, se dice que el muestreo es aleatorio y que el resultado es una muestra aleatoria.”(Pág. 78)

Según (MURRAY R, SPIEGEL, 1991).

 “Lógicamente, la confiabilidad de la conclusión extraídas concemientes a una población depende de si la muestra se ha escogido apropiadamente de tal modo que represente la población lo suficientemente bien; uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es como escoger una muestra.” (Pág. 156)

Bibliografía

• Douglas C. Montgomery y George C.Runger, 2002. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, primera edición, Mc Graw Hill, México.
• Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III y Richard L. Scheaffer, 2010. Estadística matemática con aplicaciones. Séptima edición, Cengage Learning, México.
• Murray R. Spiegel 1997. Probabilidad y estadística. Primera edición. Mc Graw Hill. México.

3.2 Descripción de datos.

Datos agrupados

De acuerdo a (Larry Stephens, 2009)

“Datos agrupados Datos que se dan en intervalos de clase, como cuando se resumen para una distribución de frecuencias. No se tienen los valores de los datos originales.” (Pág., 126)

Según (Levin Richa I, 2004)

“Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observación cae dentro de alguna de las clases.” (Pág., 62)

Para (David R. Anderson, 2008)

“Datos agrupados en la mayor parte de los casos, las medidas de localización y variabilidad se calculan mediante los valores individuales de los datos. Sin embargo, otras veces sólo se tienen datos agrupados o datos en una distribución de frecuencias.” (Pág. 120)

Frecuencia relativa

Para (David R. Anderson, 2008)

“La frecuencia relativa de una clase es igual a la parte o proporción de los elementos que pertenecen a cada clase. En un conjunto de datos, en el que hay n observaciones.” ( Pág. 29)

Según (Levin Richa I, 2004)

“Distribución de frecuencias relativas presentación de un conjunto de datos en el que se muestra la fracción o porcentaje del total del conjunto de datos que entra en cada clase 

mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva.” (Pág.  45)

De acuerdo a (Larry Stephens, 2009)

“La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje.” (Pág. 37)

PUNTO MEDIO

Para (David R. Anderson, 2008)

“El punto medio de clase es el valor que queda a la mitad entre el límite inferior y el límite superior de la clase. En el caso de las duraciones de las auditorias, los cinco puntos medios de clase son 12, 17, 22, 27 y 32.”  (Pág.  35)

De acuerdo a (Larry Stephens, 2009)

“Punto medio de clase Valor que se encuentra a la mitad entre el límite de clase inferior y el límite de clase superior.” (Pág.98)

Según (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010)

“Muchos conjuntos de datos cuantitativos están formados de números que no se pueden separar fácilmente en categoría o intervalo. Entonces se hace necesaria una forma diferente de graficar este tipo de datos.” (Pág. 20)

Bibliografia

• Larry Stephens, 2009. Estadística. Cuarta edición, México, McGraw Hill editores.
• Levin, Richar L,  2004 estadística para administración y economía. Séptima edición, México, Person educación.  
• David R. Anderson, 2008, Estadística para administración y economía, decima edición, Cergage Learning editares.
• William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010. Introducción a la probabilidad y estadística. Décimatercera edición, México, Cengage Learning Editores.

3.3. Medidas de tendencia central

MEDIA ARITMÉTICA

 Según (Mario F. Triola, 2009)

“La media aritmética, por lo general, es la medida numérica más importante que se utiliza para describir datos; comúnmente se le conoce como promedio.” (Pág. 77)

Para (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens)

“La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números X1, X2, X3, . . .  XN se denota así: X_ que se lee X barra .” (Pág. 61)

MEDIA GEOMÉTRICA

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“La media geométrica resulta útil para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Posee amplias aplicaciones en la administración y la economía, ya que con frecuencia hay interés en determinar los cambios porcentuales de ventas, salarios o cifras económicas, como el producto interno bruto, los cuales se combinan o se basan unos en otros. La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz enésima de un producto de n variables.” (pág. 69)

Según (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Media geométrica Medida de tendencia central utilizada para medir la tasa promedio de cambio o de crecimiento de alguna cantidad, se calcula tomando la n-ésima raíz del producto de n valores que representan el cambio.” (pág. 118)

Para (Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens)
"La media geométrica G de N números positivos X1, X2, X3, . . . , XN es la raíz n-ésima del producto de los números." (Pág. 65)

MEDIA PONDERADA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“los valores varían de acuerdo con su grado de importancia, por lo que podemos ponderarlos y calcular la media ponderada de los valores x, una media que se obtiene asignando distintos pesos (w) a los valores.” Pág. 84)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008) menciona que:

“La media ponderada constituye un caso especial de la media aritmética y se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor.” (pág. 61)

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La media ponderada nos permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.” (pág. 69)

MEDIANA

 (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010) expone que

“La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la observación central del conjunto. Esta sola observación es el elemento que está más al centro del conjunto de números. La mitad de los elementos están por arriba de este punto y la otra mitad está por debajo.” (pág. 77)

De acuerdo a (Mario F. Triola, 2009)

“La mediana de un conjunto de datos es la medida de tendencia central que implica el valor intermedio, cuando los valores de los datos originales se presentan en orden de magnitud creciente (o decreciente). La mediana suele denotarse con x testada (y se lee “x con tilde”).” (Pág. 78)

Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“Mediana Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor.” (pág. 62)

MODA

Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“Moda valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.” (pág. 64)

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos.” (pág. 84)

 (Mario F. Triola, 2009) expone que:

“La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia.” (Pág. 80)

VARIANZA

Según (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Cada población tiene una varianza, su símbolo es sigma cuadrada. Para calcular la varianza de una población, la suma de los cuadrados de las distancias entre la media y cada elemento de la población se divide entre el número total de observaciones en población. Al elevar al cuadrado cada distancia, logramos que todos los números sean positivos y, al mismo tiempo, asignamos más peso a las desviaciones más grandes (desviación es la distancia entre la media y un valor).” (pág. 96)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La varianza de un conjunto de valores es una medida de variación igual al cuadrado de la desviación estándar." (Pág. 97)

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

De acuerdo a (David R. Anderson, Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams)

“La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea s para denotar la desviación estándar muestral y σ para denotar la desviación estándar poblacional.” (Pág. 95)

 (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010) señalan que:

“Desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza medida de dispersión con las mismas unidades que los datos originales, más que en las unidades al cuadrado en que se expresa la varianza.” (pág. 118)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La desviación estándar de un conjunto de valores muéstrales, es la medida de variación de los valores con respecto a la media. Es un tipo de desviación promedio de los valores con respecto a la media.” Pág. 94.

RANGO

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“El rango es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados.” (pág. 92)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.” (Pág. 93)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008) señala que:

“La medida más simple de dispersión es el rango. Representa la diferencia entre los Valores máximo y mínimo de un conjunto de datos.” (pág. 73)

Bibliografia

• Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008. Estadística aplicada a los negocios y la economía. Decimotercera edición, México: Mc Graw Hill. 
• Mario F. Triola, 2009. Estadística, décima edición, México. Pearson Educación.
• Levin, Richard I. y Rubin, David S., 2010. Estadística para administración  y economía, séptima edición, México. Pearson educación.
• Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008) estadística aplicada a los negocios y la economía. Decimotercera edición, México. Mc Graw Hill.

3.4. Parámetros para datos agrupados

Según (Jay L. Devore, 2008)

“En el estudio de las distribuciones de datos, la estadística selecciona un conjunto de los mismos de forma que sean representativos de todos los de la distribución. Estos datos seleccionados se denominan características de la distribución o parámetros estadísticos.” (Pág.190)

Bibliografia

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Séptima edición. México. Cengage Learning editores.

3.6 Distribución de frecuencias.

De acuerdo a Allen L. Webster (2000)

“Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias) ordenará los datos si estos se dividen en clases y se registrará el número de observaciones en cada clase.” (Pág. 22)

Según (David R. Anderson, Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, 2008) 

“Una distribución de frecuencia es un resumen tabular de datos que muestra el número

(frecuencia) de elementos en cada una de las diferentes clases disyuntas (que no se sobreponen).” (Pàg. 28)

 Para (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Una distribución de frecuencias es una tabla en la que organizamos los datos en clases, es decir, en grupos de valores que describen una característica de los datos.” (pág. 14)

Bibliografía

• Allen L. Webster, 2000. Estadistica aplicada a los negocios y la economía. Tercera ediciòn. Colombia. Mc Graw Hill. 
• David R. Anderson, Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, 2008  Estadística para administración y economía. Decima edición. México. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.  
• Levin, Richard I. y Rubin, David S., 2010. Estadística para administración  y economía, séptima edición, México. Pearson educación.

3.6. Técnicas de agrupación de datos.

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

 “Pueden utilizarse varias herramientas básicas para describir y resumir un conjunto grande de datos. La manera más simple, pero quizás la más significativa, es la serie ordenada, la utilidad de una serie ordenada es limitada. Se necesitan mejores técnicas para describir nuestro conjunto de datos.” (Pág. 21)

Ejemplo

De acuerdo a Allen L. Webster (2000)

“Se asume que los puntajes de CI de cinco recién graduados de la Universidad de Podunk son 75, 73, 91, 83 y 80.Una serie ordenada simplemente enumera tales observaciones en orden ascendente o descendente. Los cinco valores pueden aparecer como 73, 75, 80, 83, 91.” (Pág. 21)

Bibliografía

Allen L. Webster, 2000. Estadistica aplicada a los negocios y la economía. Tercera ediciòn. Colombia. Mc Graw Hill.

3.8. Técnicas de muestreo

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

“Son las estrategias aplicadas por los investigadores durante el proceso de muestreo estadístico.”

Ejemplo

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

“Muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados.”(Pág. 161)

Bibliografía

Allen L. Webster, 2000. Estadistica aplicada a los negocios y la economía. Tercera ediciòn. Colombia. Mc Graw Hill.

3.9. Histograma

Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008)

“Histograma es una gráfica en la que las clases se señalan en el eje horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan por medio de las alturas de las barras, éstas se dibujan de manera adyacente.” (Pág. 35)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Un histograma es una gráfica de barras donde la escala horizontal representa clases de valores de datos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a los valores de frecuencia; en tanto que las barras se dibujan de manera adyacente sin huecos entre sí.” (Pág. 51)

Para (Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009)

“Histograma es una representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos o de una variable, donde los datos se clasifican por su magnitud en cierto número de clases. Permite visualizar la tendencia central, la dispersión y la forma de la distribución.”(Pág. 23)

Bibliografía

• Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008. Estadística aplicada a los negocios y la economía. Decimotercera edición, México: Mc Graw Hill. 
• Mario F. Triola, 2009. Estadística, décima edición, México. Pearson Educación
• Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009. Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, Mc Graw Hill.

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

2.1 Teoría elemental de la probabilidad

Levin Richard I. (2010), menciona que:

“La probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.” (pág. 129)

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero.” (pág. 5) 

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“El termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)                  

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“Si la probabilidad es de ¼, diríamos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es de 75% al 25% o de 3 a 1.” (pág. 5)

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“Hay una probabilidad 50-50 de que el titular busque la reelección.” (pág. 5) 

2.2 Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento,

simbología, unión, intersección, diagramas de Venn. 

Espacio muestral

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“A un conjunto S que consta de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, y a cada resultado se le llama  punto muestral.” (pág. 3)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama espacio muestral. Un resultado en particular, es decir un elemento de S, se llama punto de mustreo o muestral.”(Pág. 276)

Jay L. Devore (2008) menciona que:

“El espacio muestral de un experimento denotado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.” (pág. 47)

                 Ejemplo

1.- Si se lanza un dado, un espacio muestral, o conjunto de todos los resultados posibles será {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mientras que otro será {par, non}. Sin embargo, es claro que el último no será adecuado para determinar, por ejemplo. Si un resultado es divido entre 3. (pág.3)

2.- Lance una moneda 3 veces y observe la sucesión de caras (C) y sellos (S) que resulta. El espacio muestral S consta de ocho elementos:

S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} (pág. 277)

3.- Si se examinan tres fusibles en secuencia y se anota el resultado de cada examen, entonces un resultado del experimento es cualquier secuencia de letras N y D de longitud 3, por lo tanto

S = {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}

Si se hubiera lanzado una tachuela tres veces, el espacio muestral se obtendría reemplazando N

por U en la expresión S anterior y con un cambio de notación similar se obtendría el espacio

muestral. (pág. 47)

Bibliografía

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1992. Matemáticas para computación. Primera edición. México. Mc Graw Hill.

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. México. Cengage learning Editores.

EVENTO

Jay L. Devore (2008) menciona que:

      “Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el                  espaciomuestral S. Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado 

       y  compuesto si consiste en más de un resultado.” (pag. 48)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

       "Un evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del               espacio muestral S. En particular, el conjunto {a} que consta de una sola muestra € 

        S  es un evento y se llama evento elemental.” (pag. 276)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

     

     “Un evento o suceso es un subconjunto A del espacio muestral S. es decir es un                   conjunto de resultados posibles. Si el resultado de un experimento es un elemento 

      de A, se dice que ha ocurrido el evento A. un evento que consta de un solo punto de S         llamarse evento simple o elemental.

Ejemplo

1.- El espacio muestral del experimento del examen de las baterías contiene un número infinito de resultados, por lo que existe un número infinito de eventos simples. Los eventos compuestos incluyen

A _ {E, FE, FFE} _ el evento en que cuando mucho se examinan tres baterías.

E _ {FE, FFFE, FFFFFE,. . .} _ el evento en que se examina un número par de baterías. (pag. 49)

2.- Lance una moneda 3 veces y observe la sucesión de caras (C) y sellos (S) que resulta. El espacio muestral S consta de ocho elementos.

Sea A el evento de que salgan dos o más caras consecutivamente, B de que todos los lanzamientos tengan el mismo resultado:

A= {CCC, CCS, SCC}  y  B= {CCC, SSS}

Entonces A∩B = {CCC} es el evento elemental en el que solamente salen caras. El evento de que salgan 5 caras es el conjunto vacío o.

3.- volviendo al experimento de lanzar una moneda 2 veces, sea A el evento “que caiga por lo menos una cara” y B el evento “el segundo lanzamiento que caiga cruz”. Entonces, A = {HT, TH, HH}, B = {HT, TT} y, por tanto, se tiene:

A U B = {HT, TH, HH, TT} =S     A∩B = {HT}

A’ = {TT}    A-B = {TH, HH}  (pág. 4)

Bibliografía

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1992. Matemáticas para computación. Primera edición. México. Mc Graw Hill.

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. México. Cengage learning Editores.

Unión

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos

los elementos del conjunto A y del conjunto B:

A u B = {x | x e A o x e B}.” (pág. 80)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la unión de dos eventos A y B denotada por A U B y que se lee “A unión B”, es el evento que consiste en los resultados que están ya sea en A o en B o en ambos eventos (así que la unión incluye resultados para los que ocurren tanto A como B, así como resultados para los que ocurre exactamente uno). Es decir, los resultados en por lo menos uno de los eventos.” (pág. 55)

Ejemplo

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}; entonces

                   AUB = {a, b, c, d, e}.” (pág. 16)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de unión de conjuntos se tiene que:

AuB= {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}.” (pág. 81)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

“para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

AUB= {0, 1,2, 3, 4, 5, 6}=S. A U C= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Bibliografía

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

Intersección

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la intersección de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A∩B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene

a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:

A n B = {x | x e A; x e B}.” (pág. 82)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la intersección de dos eventos A y B, que se denota como A∩B y se lee “A intersección B”, es el evento que consiste en los resultados que están tanto en A como en B.” (pág. 55)

Ejemplo

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea P el evento de que una persona seleccionada al azar mientras cena en un restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento de que la persona tengas más de 65 años de edad. Entonces el evento P∩Q es el conjunto de todos los contribuyentes en el restaurante que tiene más de 65 años  de edad.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de intersección de conjuntos se tiene que:

A n B = {2, 6, 8}.” (pág. 82)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

“para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

A∩B = {3, 4}, A∩C= {1, 3}, A´= {5, 6}, {

(AUC)= {6}.” (pág. 55)

 Bibliografía

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

Diagrama de venn

Según (José Alfredo, 2008)

“Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma en que se entrelazan las figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos conjuntos.” (pág. 79)

De acuerdo a ((Murray R. Spiegel, 1991)

“un universo u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo.  Para En tal caso los subconjuntos de u se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de ven, sirven para darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.” (pág. 2)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“en un diagrama de venn representamos el espacio muestral como un rectángulo.” (pág. 16)

2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

AXIOMAS

Según (Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010)

“Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas. Los axiomas no determinan las probabilidades. Sin embargo, los axiomas facilitan el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otro.”(pág. 66)

Seymour Lipschutz (1991) señala que:

“Sea S un espacio muestral, sea Є la clave de eventos y se P una función de valores reales definida en Є. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:

[P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

[P2] P(S) = 1.

[P3] Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A U B) = P(A) + P(B)

[P4] Si A1, A2, … es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + … “ (Pág. 40)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“Suponga que tiene un espacio muestral S. Si S es discreto, todos los subconjuntos corresponden a eventos y recíprocamente, pero si S no es discreto, solo los subconjuntos especiales (llamados mediles) corresponden a eventos. A cada evento A de una clase C de eventos se le asocia un número real P(A). Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es la probabilidad del evento A. si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1: Para cada evento A de la clase C.

P(A) ≥ 0

Axioma 2: Para el evento cierto o seguro S de la clase C.

P(S) = 1

Axioma 3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…., de la clase C,

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + …

 En particular, dados dos eventos mutuamente excluyentes A1, A2,

P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)” (Pág. 5)

BIBLIOGRAFIA

Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, primera edición. México. Mc Graw Hill.

Seymour Lipschutz, 1991. Probabilidad. Primera edición. Mexico. Mc Graw Hill.

Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010. Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.

TEOREMAS

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“De acuerdo con los axiomas anteriores, pueden demostrarse varios teoremas acerca de la probabilidad que son importantes en el trabajo subsiguiente.

Teorema 1-1: Si A1 C A2, entonces P(A1) ≤ P(A2) y (A2 – A1) = P(A2) – P(A1).

Teorema 1-2: Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1, es decir una probabilidad está entre 0 y 1.

Teorema 1-3: P(ф) = 0 es decir el evento imposible tiene probabilidad cero.

Teorema 1-4: Si A’ es el complemento de A, entonces P(A´) = 1 – P(A)

Teorema 1-5: Si A = A1 U A2 U … U An donde A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An), en particular, si A = S, es el espacio muestral, entonces P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.” (pág. 5 y 6)

2.4. Probabilidad condicional: dependiente, independiente.

Según (Mario F.Triolo, 2009)

“La probabilidad condicional de un suceso es una probabilidad obtenida con

La información adicional de algún otro evento que ya ocurrió. P (B|A) denota la

Probabilidad condicional de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A ya

Ocurrió, y puede calcularse dividiendo la probabilidad de que ambos sucesos

A y B ocurran entre la probabilidad del suceso A:

PsB k Ad 5

PsA y Bd

  PsAd.” (pág. 169)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“P(B|A) = P(A∩B)/P(A)   o bien P(A∩B) = P(A) P(B|A) indica que la probabilidad de que ocurran tanto en A como B es igual a la posibilidad de que ocurra A, por la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. A P(B|A) se la llama probabilidad condicional de B dado A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A.” (pág. 7)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“sea E un evento arbitrario en un espacio muestral S para el cual P(E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que haya ocurrido E o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A|E), se define como sigue:

P(A|E) = P(A ∩ E) / P(E)” (pág. 279)

EJEMPLOS

1.- encuentre la probabilidad de que en un solo lanzamiento de un dado se obtenga un número menor que 4 sí; a) no se da ninguna información y b) se sabe que en ese lanzamiento se obtuvo un número impar.

a) sea B el suceso {menor que 4}. Puesto que B es la unión de los eventos 1, 2, 3, se tiene, de acuerdo con el teorema 1-5.

P(B) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 =1/2

Suponiendo probabilidades iguales para los puntos de la muestra.

b) Sea A el evento {número impar}, se ve que p(A) =3/6 = ½. Además, P(A ∩ B) =2/6 = 1/3. Entonces P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Por tanto el conocimiento adicional de que el lanzamiento ha dado como resultado un número impar eleva la probabilidad de ½ a 2/3. (Pág. 7)

2.5 ley multiplicativa

Según (Jay L. Devore, 2005)

 “La definición de la probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)

p (A∩B) = P (A|B)*P (B)

De acuerdo a (walpole, Ronald E., 1999)

“Permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces

  P(A ∩ B) = P(A) P (B|A), siempre que P(A) > 0.” (pág. 54)

Mario F. Triolo, 2009. Declara que:

“Se utiliza Para calcular P(A y B), la probabilidad de que el suceso A ocurra en un primer ensayo Y que el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Si el resultado del primer suceso A afecta de alguna forma la probabilidad del segundo suceso B, es importante Ajustar la probabilidad de B para que refleje la ocurrencia del suceso A. La regla Para el cálculo de P(A y B) se denomina regla de la multiplicación porque implica Multiplicar la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B (donde la Probabilidad del suceso B se ajusta por el resultado del suceso A).

P(A y B) _ P (el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un

  Segundo ensayo).” (pág. 159)

2.6 eventos independientes: Regla de Bayes

Según (Jay L. Devore, 2005)

“el cálculo de una probabilidad posterior P  (Aj|B) a partir de probabilidades previas dadas  P (Aj) y probabilidades condicionales  ocupa una posición central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una aplicación simple de la regla de la  multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el siglo XVII.” (Pág.72)

De acuerdo (Seymour Lipschutz, 1968)

“supongamos que los eventos A1, A2,…, An forman una partición de un espacio muestral ; esto es, que los eventos  son mutuamente exclusivos y su unión es . Ahora sea.  Otro evento.”(Pág.56)

Levin Richard I., 2010, señala que:

“El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidades.” (pág. 158)

Ejemplo:

Tres máquinas A, B y C producen respetivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

2.7 variable aleatoria

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento  del espacio muestral.” (pág. 51)

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)
“una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral  y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un número. Así definimos una función en el espacio muestral. Comúnmente se denota por una letra mayúscula como X ó Y. En general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico u otro.” (pág. 38)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas."

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)

“cuando un estudiante intenta conectarse a un sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos está ocupado (F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema con S= {S, F}, defina una variable aleatoria x mediante

X(S)=1    X (F)=0

La variable aleatoria X indica si (1) el estudiante se puede conectar o no ({}).” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es S= {CC, CS, SC, SS}. Representase por X el número de caras que puede resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un número para X. (pág. 38)

2.9 modelos analíticos de fenómenos aleatorios discreto

Según (Walpole, Myers, Myers, 2012)

“se puede contar su conjunto de resultados posibles. Sin embargo, una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles es un intervalo completo de números no es discreta. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continúa.” (pág. 83)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991)

“Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, por que el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.” (pág. 87)

2.10 modelos analíticos de fenómenos aleatorios continuos.

Anderson Sweeney Williams (2008), expone que:

“A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos, Los resultados experimentales basados en escalas de medición tales como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas. La variable aleatoria que interesa es x = tiempo en minutos entre dos llamadas consecutivas. Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor en el intervalo x  ≥ 0.” (Pág. 189)

Jay ley Devore (2009) menciona que:

“La probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria continua X esté en un conjunto unidimensional A (tal como un intervalo) se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad f(x) a lo largo del conjunto A. Asimismo, la probabilidad de que el par

(X, Y) de variables aleatorias continuas quede en un conjunto A en dos dimensiones (tal como

un rectángulo) se obtiene integrando una función llamada función de densidad conjunta. (Pág. 186)

Seymour Lipschutz, (1991) señala que:

“supóngase que X es una variable aleatoria cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto continuo de números tales como intervalo. El conjunto |a ≤ X ≤ b | es un suceso de S y, por consiguiente, la probabilidad P(a ≤ X ≤ b) está bien definida.” (Pág. 84)

FUENTE BIBLIOGRÁFICA

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(Murray R. Spiegel, 1991) probabilidad y estadística. Primera edición, México: MC GRAW-HILL/INTEROAMERICANA.

(Levin, Richard I, 2010) estadística para administración y economía. Séptima edición, México: person educación.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

(Mario F.Triolo, 2009) Estadística. Décima edición, México: Pearson Addison Wesley.

(Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, México: Editorial MC GRAW HILL.

(Walpole, Myers, Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Novena edición, México: person educación.