Técnicas de conteo

1.1 Principio aditivo

Según (Paul L. Meyer, 1970) 

“Principio aditivo. Supongamos que un procedimiento designado con 1, se puede hacer de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2 se hagan juntos. Entonces el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n2.”(pág. 32)

De acuerdo a (Ignacio M. Lizarraga Gaudry y Susana Marquez y Obscura, 1980) “Si el suceso p1 ocurre de n1 formas diferentes y el suceso p2 ocurre de n2, el suceso (p1 o p2) ocurre de (n1 + n2) maneras diferentes.” (pág. 10) 

Ralph P. Grimaldi, 1989 expone que:  

“Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos tareas simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas se puede lograr de m + n maneras”. (pág.1)    

Ejemplos del uso o aplicación de principio aditivo

1.- Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir entre el transporte por bus o tren. Si hay tres rutas para el bus y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas disponibles para el viaje.

2.- Una pareja de recién casados que ha juntado el dinero suficiente para dar el enganche de una casa, tienen las siguientes alternativas: en el primer fraccionamiento les ofrecen tres opciones diferentes y en el segundo dos, de manera que tienen un total de 3 + 2 = 5 opciones.

3.- La biblioteca de un colegio tiene 40 libros de texto sobre sociología  y 50 sobre antropología. Por la regla de la suma, un estudiante de ese colegio puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros de texto para ampliar sus conocimientos sobre alguno de los dos temas.

 Bibliografía

• Paul L. Meyer, 1970. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. 
• Ignacio M. Lizarraga Gaudry y Susana Marquez y Obscura, 1980. Probabilidad. México. Editorial Mc Graw Hill.
• Ralph P. Grimaldi, 1989. Matemáticas Discretas y Combinatoria. Tercera Edición, E.U.A. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.  

1.2 Principio multiplicativo

Según (Paul L. Meyer, 1970)  

“Principio multiplicativo. Supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n1 ∙ n2 maneras.” (pág. 33)

De acuerdo a  (William W. Hines, 1987 y Douglas C. Montgomery, 1987)

“Si los conjuntos A1, A2 . . . , Ak tienen, respectivamente n1, n2, . . . , nk elementos, entonces hay n1 ∙ n2  ∙ . . .  ∙ nk maneras de seleccionar primero un elemento A1, seleccionar después un elemento de A2, . . . , y finalmente seleccionar un elemento de Ak.”(pág. 43)

Ignacio M. Lizarraga Gaudry y Susana Marquez y Obscura (1980) menciona que: 

“Si un suceso P1 ocurre de N1 maneras diferentes y otro suceso P2 ocurre de N2 maneras diferentes, el suceso (P1 y P2) ocurre de (N1 ∙ N2) maneras diferentes.” (pág. 9)

Ejemplos del uso o aplicación de principio multiplicativo

1.- Un artículo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada uno de ellos, se inspecciona una característica particular del artículo y se le marca de conformidad. En el primer control hay tres mediciones posibles, mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay cuatro mediciones posibles. Por lo tanto, hay 3 ∙ 4 ∙ 4 = 48 maneras de marcar el artículo.

2.- El grupo de teatro de la Universidad Central está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vista de que se presentan seis hombres y ocho mujeres para los papeles principales masculino y femenino, por la regla del producto el director puede formar el reparto de su pareja principal de 6 x 8 = 48 maneras.

3.- Un algoritmo tiene 3 procedimientos (ABC) y cada procedimiento  tiene 4 ciclos (1, 2, 3,4). ¿Cuántos ciclos tienes el algoritmo? Aplicando el principio fundamental del producto se tiene que, total de ciclos= 3 x 4 = 12.

Bibliografía

• Paul L. Meyer, 1970. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. 
• William W. Hines y Douglas C. Montgomery, 1987. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Administración. Segunda Edición, México D.F. Editorial CECSA.  
• Ignacio M. Lizarraga Gaudry y Susana Marquez y Obscura, 1980. Probabilidad. México. Editorial Mc Graw Hill.

1.3 Notación Factorial.

De acuerdo a (Seymour Lipschutz, 1997)

“El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee “n factorial”).” (pág. 16)

Segun (José A. Jiménez murillo, 2008)“El factorial de n, denotado como n!, se define como:0! = 1               1! = 1
n! = n(n – 1) (n – 2) *** (2)1   para n˃1
Siento n un número entero no negativo.” (pág. 46 y 47)

Ralph p. Grimaldi, 1989, señala que:“Se usa la notación n! léase “n factorial”, para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a n, incluye:n! = 1*2*3 * * * * *(n – 2) (n – 1)nEquivalente, se define n! por1! = 1            y n! = n*(n-1)!También es conveniente definir 0!=1.” (pág. 257)

 Ejemplos del uso o aplicación de notación factorial.

Segun (Seymour  Lipschutz, 1991)“b) 2!= 1*2 = 2        3!= 1*2*3 = 6     5!= 5*4! = 120 .” (pág. 16)

José A. Jiménez murillo, 2008.,  señala que:“6!= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.” (pág. 47)

 De acuerdo a (Seymour  Lipschutz, 1991)
“b) 8!/6!= 8*7*6!/6! = 56                 12*11*10 = 12*11*10*9!/9! = 12!/9!” (pág. 16)

Bibliografía

• Seymour Lipschutz, 1997. “Probabilidad”. 1era edición. México. Mc Graw Hill.
• José A. Jiménez murillo, 2008. “Matemáticas para la computación”, 1era edición, México. Editorial alfa omega.
• Ralph p. Grimaldi, 1989, “Matemáticas discretas y combinatoria” 1era edición, impreso en E.U.A: editorial Addison-Wesley iberoamericana. 

1.4. Permutaciones

Según (Murray R. Spiegel 1991) 

“Supóngase que se dan n objetos diferentes y deseamos ordenar r de estos objetos en una línea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto, y luego de hacer esto n-1 maneras de escoger el segundo objeto, …, y finalmente n – r + 1 formas de escoger el r-ésimo objeto, se deduce por el principio fundamental de cuenta que el número de ordenaciones, o permutaciones diferentes como generalmente se les llama, está dado por: nPr = n(n – 1)(n – 2) ∙∙∙ (n – r + 1)”. (pág. 10) 

Seymour Lipschutz, 1997, expone que: 

“Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, r ≤ n, en un orden dado se llama una permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez.” (pág. 16) José A.

Jiménez murillo,  2008, señala que: 

“Las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo.”(pág. 46) 

  

Ejemplos del uso o aplicación de las permutaciones.

Según (Murray R. Spiegel 1991) 

"El número de ordenaciones o permutaciones diferentes que consisten de 3 letras cada una y que pueden formarse de las 7 letras A, B, C, E, F, G es:7p3 = 7!/4! = 7 ∙ 6 ∙ 5 =210” (pág.  10)

De acuerdo (Seymour Lipschutz, 1997) 

"¿Cuántas permutaciones de 3 elementos se forman con 3 objetos a, b y c ?3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 permutaciones. Estas son abc, acb, bac, bca, cab, cba.”(pág. 17)

José A. Jiménez murillo,  2008, señala que: 

"Supóngase ahora que la academia está formada por tres maestros sino por 8, y que de ese conjunto se desea integrar el comité que ocupará los puestos de presidente, secretario y vocal, suponiendo que primero se selecciona a quien ocupará el puesto de presidente, después el de secretario y al final el de vocal.¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar?La respuesta esP = 8 x 7 x 6 = 336Como se ve, el presidente se puede seleccionar de 8 formas distintas, el secretario de 7 y el vocal de 6.Si n es el número de elementos del conjunto (n = 8 en este caso) y r es el número de elementos que forman el comité (en este caso r = 3). La expresión anterior se puede representar en función de n y r de la siguiente manera:P=n!/(n-r)!Sustituyendo n=8 y r=3, se tiene que:P=8!/(8-3)!=8!/5! = 8*7*6*5!/5! =  8*7*6=336” (pág. 47)

Bibliografía

• Murray R. Spiegel, 1991.”Probabilidad y Estadística”.1era edición. México. Mc Graw Hill.
• Seymour Lipschutz, 1997. “Probabilidad”. 1era edición. México. Mc Graw Hill.
• José A. Jiménez murillo, 2008. “Matemáticas para la computación”, 1era edición, México. Editorial alfa omega.

 1.5. Combinaciones

Murray R. Spiegel 1991, expone que: 

“En una permutación estamos interesados en el orden de la distribución de los objetos. Así abc es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas estamos interesados solamente en seleccionar o escoger objetos sin interesar su orden. Dichas selecciones se llaman combinaciones.” (pág. 10) 

Seymour Lipschutz, 1997, menciona que: 

“Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.”(pág.21) 

José A. Jiménez murillo., 2008, señala que: 

“Combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo.” (pág. 52)

Ejemplos del uso o aplicación de las combinaciones.

Murray R. Spiegel 1991, señala  que: 

“El número de maneras en las cuales 3 cartas pueden escogerse o seleccionarse de un total de 8 cartas diferentes.₈C₃   = (8, 3)   =( 8 ∙ 7 ∙ 6 )/ 3 = 56 ” (pág. 11)

Seymour Lipschutz, 1997, menciona que: 

¿Cuántos comités de 3 pueden formar con 8 personas? Cada comité es esencialmente una combinación de las 8 personas tomadas 3 a la vez. Por tantoC(8,3) = (8, 3) =(8 ∙ 7 ∙ 6)/(1 ∙ 2 ∙ 3) = 56 comités diferentes pueden formarse.” (pág. 22)

José A. Jiménez murillo., 2008, señala que: 

“Supóngase que la academia está integrada por 8 maestros, y que de ese conjunto se desea seleccionar a 3 de ellos que integraran el comité que ocupara los puestos de presidente, secretario y vocal. Suponiendo que no es importante quien ocupe cualquiera de los puestos, ¿cuántos arreglos diferentes se pueden formar?
El número de arreglos es:(8, 3) = 8!/3! (8-3)!=( 8 ∙ 7∙ 6 ∙ 5!)/(3! ∙  5!)= 56
Suponiendo que el conjunto de maestros es A= {Ignacio, Miriam, Jorge, Raymundo, Esperanza, Manuel, Rogelio, Ezequiel), las 56 combinaciones son todas las tripletas que se pueden formar con ellos, en donde el orden en que aparece el nombre de un maestro no es importante sino solamente que este contenido en ella. Esto implica que por ejemplo las tripletas (Miriam, Ezequiel, Raymundo) y (Raymundo, Miriam, Ezequiel) realmente son iguales.”(pág.53)

Bibliografía

• Murray R. Spiegel, 1991.”Probabilidad y Estadística”.1era edición. México. Mc Graw Hill.
• Seymour Lipschutz, 1997. “Probabilidad”. 1era edición. México. Mc Graw Hill.
• José A. Jiménez murillo, 2008. “Matemáticas para la computación”, 1era edición, México. Editorial alfa omega.

1.6. Diagrama de árbol

Según (Seymour  Lipschutz, 1997) 

“Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento pude suceder en un número finito de maneras.”(pág. 23) 

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991) 

“Si una cosa puede realizarse de n1 maneras diferentes y después de esto una segunda cosa puede realizarse de n2 maneras diferentes,. . ., y finalmente una k-ésima cosa puede realizarse de nk maneras diferentes, entonces todas las k cosas pueden realizarse, en el orden especificado, de n1 * n2 * * * nk maneras diferentes.”(pág. 9)

William W. Hines y Douglas C. Montgomery, 1993,  mencionan que: 

“supóngase que los datos están representados x1, x2 . . . , x_n y que cada número x_i consta de al menos dos dígitos. Para construir un diagrama de árbol, dividimos cada número x_i en dos partes: un tronco, consiste en uno o más de los primeros dígitos, y una hoja, consiste en los dígitos restantes.”(pág. 21) 

Ejemplo del uso o aplicación del diagrama de árbol.

Según (Seymour  Lipschutz, 1997) 

“Hallar el conjunto producto A x B x C en donde A=|1 ,2|, B=|a, b, c| y C= |3, 4|.Usamos el diagrama de árbol siguiente:

(pág. 23)

Murray R. Spiegel, 1991, menciona que: 

“Si un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas, entonces tiene 2*4 = 8 maneras de elegir una camisa y una corbata. Representando las camisas por S1*S2 y las corbatas por T1, T2, T3, T4, en el diagrama de árbol, indica las diversas maneras de elegir una camisa y una corbata.” (pág. 10)

Según (Seymour  Lipschutz, 1997) 

“Marcos y Enrique intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane dos  juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente muestra los posibles resultados del torneo.

MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EEEl recorrido desde el principio del árbol a los puntos finales indica quien ganó cada juego en el torneo individual.” (pág. 23)

Bibliografía

• Murray R. Spiegel, 1991.”Probabilidad y Estadística”.1era edición. México. Mc Graw Hill.
• Seymour Lipschutz, 1997. “Probabilidad”. 1era edición. México. Mc Graw Hill.
• William W. Hines y Douglas C. Montgomery, 1993. “Probabilidad y estadistica”, 3era edición, México. Editorial CECSA.

 1.7 Teorema del Binomio.

Seymour  Lipschutz, 1997, señala que:

En el desarrollo de (a + b)ⁿ  se deben observar las propiedades siguientes:Hay n + 1 términos.La suma de los exponentes de a y de b en cada término desde n hasta 0: los exponentes de b crecen similarmente de 0 a n.El coeficiente de cualquier término es (n, k) en donde k es el exponente de a o de b.
Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.” (pág. 19 y 20)

De acuerdo a (José A. Jiménez murillo, 2008) 

“Cada uno de los factores en que se descompone un binomio elevado a una potencia n se les llama coeficientes binomiales de Newton.” (pág. 57)

  

Ramón Espinosa Armenta, 2010, señala que: 

“Sea n y k dos enteros no negativos, tales que n≥k. el coeficiente binomial (n, k) está definido por:(n, k) =n!/k!(n.k)!.” (Pág. 38)

Ejemplo del uso o aplicación del teorema del binomio.

Seymour  Lipschutz, 1992, señala que:

“ (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 5*4/1*2 a^3 b^2 + 5*4/1*2 a^2 b^3 + 5ab^4+ b^5              = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3  + 5ab^4+ b^5.” (pág. 19)

De acuerdo a (José A. Jiménez murillo, 2008) 

“(x+y)^2= (n, n) x^2 + (n, n-1)xy + (n, n-2) y^2= (2, 2)x^2 + (2, 2-1)
  = (2, 2)x^2 + (2, 1) xy + (2, 0) y= (1)x^2 + (2) xy + (1)y^2= x^2 + 2xy +y^2.”(pág. 57)

Según (Seymour  Lipschutz, 1992) 

“ (a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 6*5*4/1*2*3 a^3 b^3 + 6*5/1*2 a^2 b^4 + 6ab^5+ b^6              = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3  + 15a^2b^4+ 6ab^5 + b^6 .” (pág. 19)

 Bibliografía

• Seymour Lipschutz, 1997. “Probabilidad”. 1era edición. México. Mc Graw Hill.
• José A. Jiménez murillo, 2008. “Matemáticas para la computación”, 1era edición, México. Editorial alfa omega.
• Ramón Espinosa Armenta, 2010, “Matemáticas discreta”, 1era edición, México. Alfa omega Grupo Editorial.